2018高考全国课标Ⅰ卷试题探源(三)——概率与统计
2018高考全国课标Ⅰ卷试题探源——概率与统计
概率与统计在高考中占有重要的地位，其中必有一道解答题，通常排在解答题的第2（18题）或第3（19题）题的位置。近年来，概率统计大题位置逐渐后移，今年全国课标Ⅰ理数卷概率统计排到了20题，说明概率统计的难度在逐渐增大。但不管难度如何增大，概率统计所考查的主干知识却没有变，文数考查的重点内容是必修3，选修1—2只考过独立性检验；回归分析中的残差分析未考过。文数小题重点在概率——古典概型和几何概型，而在这两种概率类型中又侧重于考查古典概型。解答题考查的侧重点在统计。求加权平均数考得较多。原因何在？主要是因为文理概率题一起命制，以姊妹题的形式出现，理科有分布列及利用分布列求数学期望，而理科的利用分布列求期望源于加权平均数，文科没学分布列，故将理科的所考的内容回归本源后变为文科问题。理科数学试题必修3和选修2—3同等权重，小题考点比较分散；大题集中在分布列、期望、方差及决策。下面我们看一看今年课标Ⅰ卷的概率统计解答题的情况。
先看文科试题：
题1（全国课标Ⅰ卷文数19）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
看到这题，学生一定会感到很亲切，因为所考查的内容是学生所熟悉的。请看2009课标文理18题：
题2：某工厂有工人1000名,其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人),另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层抽样方法(按A类,B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人,调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数).
(1)文科：A类工人中和B类工人各抽查多少工人？
理科：求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为A类工人,乙为B类工人;
(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2.
①先确定x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言,A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论)
②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)比较一下这两道题，可以发现，它们极为相似，相似度可达80%以上：
1.题目给出的条件相似，均给出频数分布表；
2.要解决的问题相似：
（1）均需画频率分布直方图；
（2）均需根据频率分布直方图估算平均数。但也有少许的差异，题2中考查了分层抽样和利用频率分布直方图比较方差的大小，而题1要求用频率估计概率。
下面我们再来看看18年课标Ⅰ理数概率统计题：
题3我们也并不陌生，请看2013年的全国课标Ⅰ卷理科19题：
题4：一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。
仔细比较可以发现，这两道题非常相似，相似度达到70%,他们的共同之处在于：
1.题目的背景一样，都是产品检验问题，均涉及检验费问题；
2.都是独立重复事件，均考二项分布；
3.均需求数学期望。
不同点在于：两题第一问除了考独立重复事件的概率外，题4还考到互斥事件概率和公式，而题3还需求最值（可利用导数来求）；两题第二问题4需求出分布列后再计算均值，但题3可以不用求分布列（当然先求出来也行）直接利用二项分布的均值公式进行计算；另外题3需利用均值来作决策。